Lineare Algebra Beispiele

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a & a & 1 - a & 1 a & a^{2} a & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2} a & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Schritt 1

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 1.1

Multipliziere

a^{2}

$a^{2}$ mit

a

$a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1

Mutltipliziere

a^{2}

$a^{2}$ mit

a

$a$ .

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Schritt 1.1.1.1

Potenziere

a

$a$ mit

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a & a & 1 - a & 1 a & a^{2} a^{1} & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2} a^{1} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Schritt 1.1.1.2

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a & a & 1 - a & 1 a & a^{2 + 1} & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2 + 1} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a & a & 1 - a & 1 a & a^{2 + 1} & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2 + 1} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Schritt 1.1.2

Addiere

2

$2$ und

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a & a & 1 - a & 1 a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a & a & 1 - a & 1 a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Schritt 1.2

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

\frac{1}{a}

$\frac{1}{a}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

\frac{1}{a}

$\frac{1}{a}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{a}{a} & \frac{a}{a} & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{a}{a} & \frac{a}{a} & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Schritt 1.2.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Schritt 1.3

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - a R_{1}

$R_{2} = R_{2} - a R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 1.3.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - a R_{1}

$R_{2} = R_{2} - a R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} a - a \cdot 1 & a^{3} - a \cdot 1 & 1 - a^{2} - a \frac{1 - a}{a} & 1 - a \frac{1}{a} 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a - a \cdot 1 & a^{3} - a \cdot 1 & 1 - a^{2} - a \frac{1 - a}{a} & 1 - a \frac{1}{a} \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Schritt 1.3.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

Schritt 1.4

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - 2 a R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 2 a R_{1}$ aus, um den Eintrag in

3, 1

$3, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 1.4.1

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - 2 a R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 2 a R_{1}$ aus, um den Eintrag in

3, 1

$3, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 2 a - 2 a \cdot 1 & a + a^{2} - 2 a \cdot 1 & 2 - 2 a - 2 a \frac{1 - a}{a} & a + 2 - 2 a \frac{1}{a} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 \\ 2 a - 2 a \cdot 1 & a + a^{2} - 2 a \cdot 1 & 2 - 2 a - 2 a \frac{1 - a}{a} & a + 2 - 2 a \frac{1}{a} \end{array}]$

Schritt 1.4.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 0 & a^{2} - a & 0 & a \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 \\ 0 & a^{2} - a & 0 & a \end{array}]$

Schritt 1.5

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$\frac{1}{a^{3} - a}$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 1.5.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$\frac{1}{a^{3} - a}$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ \frac{0}{a^{3} - a} & \frac{a^{3} - a}{a^{3} - a} & \frac{- a^{2} + a}{a^{3} - a} & \frac{0}{a^{3} - a} \\ 0 & a^{2} - a & 0 & a \end{array}]$

Schritt 1.5.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 & a^{2} - a & 0 & a \end{array}]$

Schritt 1.6

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - (a^{2} - a) R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$3, 2$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 1.6.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - (a^{2} - a) R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$3, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 - (a^{2} - a) \cdot 0 & a^{2} - a - (a^{2} - a) \cdot 1 & 0 - (a^{2} - a) (- \frac{1}{a + 1}) & a - (a^{2} - a) \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 1.6.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{a (a - 1)}{a + 1} & a \end{array}]$

Schritt 1.7

Multipliziere jedes Element von

$R_{3}$ mit

$\frac{a + 1}{a (a - 1)}$ , um den Eintrag in

$3, 3$ mit

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 1.7.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{3}$ mit

$\frac{a + 1}{a (a - 1)}$ , um den Eintrag in

$3, 3$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ \frac{a + 1}{a (a - 1)} \cdot 0 & \frac{a + 1}{a (a - 1)} \cdot 0 & \frac{a + 1}{a (a - 1)} \cdot \frac{a (a - 1)}{a + 1} & \frac{a + 1}{a (a - 1)} a \end{array}]$

Schritt 1.7.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Schritt 1.8

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} + \frac{1}{a + 1} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$2, 3$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 1.8.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} + \frac{1}{a + 1} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$2, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 + \frac{1}{a + 1} \cdot 0 & 1 + \frac{1}{a + 1} \cdot 0 & - \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{a + 1} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{a + 1} \cdot \frac{a + 1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Schritt 1.8.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Schritt 1.9

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - \frac{1 - a}{a} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$1, 3$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 1.9.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - \frac{1 - a}{a} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$1, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1 - a}{a} \cdot 0 & 1 - \frac{1 - a}{a} \cdot 0 & \frac{1 - a}{a} - \frac{1 - a}{a} \cdot 1 & \frac{1}{a} - \frac{1 - a}{a} \cdot \frac{a + 1}{a - 1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Schritt 1.9.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & \frac{a + 2}{a} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Schritt 1.10

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.10.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{a + 2}{a} - \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Schritt 1.10.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{a^{2} - 2}{a (a - 1)} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

Schritt 2

Die Pivot-Positionen sind die Stellen mit der führenden

$1$ in jeder Zeile. Die Pivot-Spalten sind die Spalten, die eine Pivot-Position haben.

Pivot-Positionen:

$a_{11}, a_{22},$ und

$a_{33}$

Pivot-Spalten:

$1, 2,$ und

$3$